CIRCUITO DE PRIMER ORDEN: RC SIN FUENTE

Circuitos de primer orden: Son circuitos caracterizados por una ecuación diferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por un conjunto cualquiera de resistencias y fuentes independientes y un solo elemento almacenador de energía (L ó C) es de 1er orden.

DESCARGA DE UN CONDENSADOR A TRAVÉS DE UNA RESISTENCIA:

Un circuito RC sin fuente ocurre cuando su fuente de cd se desconecta súbitamente. La energía ya almacenada en el capacitor se libera hacia los resistores. 

Considérese una combinación en serie de un resistor y un capacitor inicialmente cargado, como se muestra en la figura (El resistor y el capacitor podrían ser la resistencia equivalente y la capacitancia equivalente de combinaciones de resistores y capacitores.) 
El objetivo es determinar la respuesta del circuito, la que, por razones pedagógicas, se supondrá como la tensión v (t) a lo largo del capacitor. Puesto que el capacitor está inicialmente cargado, es posible suponer que en el momento t=0 la tensión inicial es v(0)=0

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Esto demuestra que la respuesta en tensión del circuito RC es una caída exponencial de la tensión inicial. Como la respuesta se debe a la energía inicial almacenada y a las características físicas del circuito y no a una fuente externa de tensión o de corriente, se le llama respuesta natural del circuito. La respuesta natural de un circuito se refiere al comportamiento (en términos de tensiones y corrientes) del circuito, sin fuentes externas de excitación.

La respuesta natural se ilustra gráficamente en la siguiente figura. Adviértase que en t = 0, se tiene la condición inicial correcta. Al aumentar t, la tensión decrece hacia cero. La rapidez con la cual la tensión decrece se expresa en términos de la constante de tiempo, denotada por [t], la letra griega minúscula tau, [t]

La constante de tiempo de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta disminuya en un factor de 1/e, o 36.8% de su valor inicial.

Con una calculadora es fácil demostrar que el valor v(t)/Vo de es el que se muestra en la siguiente tabla. De ésta se desprende claramente que la tensión es de menos de 1% de Vo después de 5t (cinco constantes de tiempo). Así, se acostumbra suponer que el capacitor está por completo descargado (o cargado) después de cinco constantes de tiempo. En otras palabras, el circuito tarda 5t en llegar a su estado final o estado estable cuando no ocurre ningún cambio con el tiempo. Nótese que por cada intervalo t de la tensión pierde 36.8% de su valor previo, v(t + t) = v(t)/e = 0.368v(t) sin importar el valor de t.

Obsérvese respecto de la ecuación t = RC que cuanto menor sea la constante de tiempo, más rápidamente disminuirá la tensión; es decir, la respuesta será más rápida. Esto se ilustra en la siguiente figura. 
Un circuito con una constante de tiempo reducida da una respuesta rápida en cuanto que llega velozmente al estado estable (o estado final) debido a la rápida disipación de la energía almacenada, mientras que un circuito con una constante de tiempo grande da una respuesta lenta, porque tarda más en llegar al estado estable. De una u otra forma, así sea reducida o grande la constante de tiempo, el circuito llega al estado estable en cinco constantes de tiempo.

Cuanto más pequeño es t más rápida es la descarga

Después de un tiempo t= 5t la tensión ha llegado al 99%de su valor final, el tiempo efectivo de un transitorio es 5τ

La clave para trabajar con un circuito RC sin fuente es hallar:

1. La tensión inicial v(0) = V0 a lo largo del capacitor.

2. La constante de tiempo t.

Con estos dos elementos, se obtiene la respuesta como la tensión del capacitor 

Una vez que la tensión del capacitor se obtiene primero,pueden determinarse otras variables (la corriente del capacitor iC la tensión del resistor vR y la corriente del resistor iR ). 

En la búsqueda de la constante de tiempo t=RC, R suele ser la resistencia equivalente de Thevenin en las terminales del capacitor; es decir, se elimina el capacitor C y se halla R=RTh en sus terminales.

EJEMPLO

En la figura anterior, sea vC(0) = 15 V Halle vC, vx e ix para t mayores que 0

SOLUCIÓN:

Primero se debe hacer que el circuito de la figura anterior se ajuste al circuito RC estándar de la figura siguiente. Se encuentra la resistencia equivalente o resistencia de Thevenin en las terminales del capacitor.

El objetivo es siempre obtener primero la tensión del capacitor vC Con base en ella se puede determinar  vx e ix. Los resistores de 8ohm y 12ohm en serie pueden combinarse para producir un resistor de 20ohm. Este resistor de 20ohm en paralelo con el resistor de 5ohm puede combinarse para que la resistencia equivalente sea

En el siguiente video del canal de youtobe del profesor Cesar Andrés Izquierdo Merlo, Clase 65: Se resuelven 4 problemas diversos sobre circuitos RC.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ya habiendo estudiado y comprendido el tema de hoy, circuitos RC sin fuente tanto en la explicación del post como en el vídeo te dejamos 2 ejercicios propuestos para que practiques el tema y si lo deseas puedes compartir tus resultados con los demás visitantes en la caja de comentarios